Lagrange-Formalismus

Der Lagrange-Formalismus ist in der Physik eine 1788 von Joseph-Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik, in der die Dynamik eines Systems durch eine einzige skalare Funktion, die Lagrange-Funktion, beschrieben wird. Der Formalismus ist (im Gegensatz zu der Newtonschen Mechanik, die a priori nur in Inertialsystemen gilt) auch in beschleunigten Bezugssystemen gültig. Der Lagrange-Formalismus ist invariant gegen Koordinatentransformationen.^[1] Aus der Lagrange-Funktion lassen sich die Bewegungsgleichungen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen der Variationsrechnung aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung bestimmen. Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, da sich, im Gegensatz zu der Newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze, im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch das explizite Ausrechnen der Zwangskräfte oder die geeignete Wahl generalisierter Koordinaten berücksichtigen lassen. Aus diesem Grund wird der Lagrange-Formalismus verbreitet bei Mehrkörpersystemen (MKS) eingesetzt. Er lässt sich auch auf den relativistischen Fall übertragen und ist auch in der relativistischen Quantenfeldtheorie zur Formulierung von Modellen von Elementarteilchen und ihrer Wechselwirkungen weit verbreitet.

Für Systeme mit einem generalisierten Potential und holonomen Zwangsbedingungen lautet die Lagrange-Funktion

wobei die kinetische Energie und die potentielle Energie des betrachteten Systems bezeichnen. Man unterscheidet sogenannte Lagrange-Gleichungen erster und zweiter Art. Im engeren Sinn versteht man unter dem Lagrange-Formalismus und den Lagrange-Gleichungen aber die zweiter Art, die häufig einfach als Lagrange-Gleichungen bezeichnet werden:

Dabei sind generalisierte Koordinaten und deren Zeitableitungen.

Mit den Lagrange-Gleichungen erster Art lassen sich die Zwangskräfte explizit ausrechnen. Sie sind äquivalent zu den Gleichungen, die sich aus dem D’Alembertschen Prinzip ergeben. Wir betrachten   Punktteilchen im   mit den Ortsvektoren  ,  , deren Koordinaten durch   voneinander unabhängige (holonome) Zwangsbedingungen   der Form   mit   eingeschränkt sind (wobei eine explizite Zeitabhängigkeit zugelassen wurde). Dadurch werden die Lagen der Teilchen auf eine  -dimensionale Mannigfaltigkeit eingeschränkt (  ist die Anzahl der Freiheitsgrade).

Die Zwangskräfte   stehen senkrecht auf dieser Mannigfaltigkeit und können daher durch eine Linearkombination der Gradienten   dargestellt werden:

Wenn man annimmt, dass sich die äußeren Kräfte aus einem Potential ableiten lassen, kann man die Bewegungsgleichung folgendermaßen schreiben (Lagrange-Gleichung 1. Art):^[2]

Die   sind die Massen der   Punktteilchen,   ist die potentielle Energie. Dies, zusammen mit den Zwangsbedingungen  , sind   unabhängige Gleichungen für die   Koordinaten der   sowie für die   Lagrange-Multiplikatoren  . Somit ist die Lösung des Gleichungssystems eindeutig.

Bemerkung: Hier wurden nur holonome Zwangsbedingungen behandelt. Der Formalismus lässt sich aber auch auf Zwangsbedingungen der Form   anwenden, die z. B. bei nicht-holonomen Zwangsbedingungen zwischen den Geschwindigkeiten der Teilchen folgen.^[3] Diese Zwangsbedingungsgleichungen lassen sich im Gegensatz zu holonomen Zwangsbedingungen nicht als vollständiges Differential einer Funktion darstellen, das heißt zwischen den Koeffizientenfunktionen gilt nicht  .

Im Fall von holonomen Zwangsbedingungen kann man neue Koordinaten   einführen, die diese implizit enthalten, sogenannte generalisierte Koordinaten. Mit der kinetischen Energie

und Potentialkräften

(die auch durch generalisierte Koordinaten ausgedrückt sind und dann als generalisierte Kräfte bezeichnet werden – sie haben nicht unbedingt die Dimension einer Kraft) lassen sich die Bewegungsgleichungen auch schreiben

oder mit der Lagrange-Funktion   (Lagrange-Gleichung 2. Art):

Treten wie in diesem Fall nur aus einem Potential ableitbare Kräfte (Potentialkräfte) auf, spricht man von konservativen Kräften.

Bemerkung: Manchmal lassen sich die generalisierten Kräfte durch ein geschwindigkeitsabhängiges generalisiertes Potential   in folgender Form schreiben

Auch dann ergeben sich die Bewegungsgleichungen

 ,

mit der Lagrange-Funktion  :

Das System ist dann aber nicht mehr im üblichen Sinn konservativ. Ein Beispiel ist der Fall des elektromagnetischen Feldes (siehe unten).

Manchmal hat man aber noch nicht-konservative Kräfte  , so dass sich die Gleichungen schreiben:

Ein Beispiel sind Systeme mit nicht-holonomen Zwangsbedingungen (siehe oben) oder Reibungskräfte.

Die Lagrange-Gleichungen zweiter Art ergeben sich als sogenannte Euler-Lagrange-Gleichungen^[4] eines Variationsproblems und liefern die Bewegungsgleichungen, wenn die Lagrange-Funktion gegeben ist. Sie folgen aus der Variation des mit der Lagrange-Funktion gebildeten Wirkungsintegrals im Hamiltonschen Prinzip. Dazu betrachtet man alle möglichen Bahnkurven   im Raum der generalisierten Koordinaten zwischen festen Anfangs- und Endpunkten. Man betrachtet die Änderung des Wirkungsintegrals bei Variation der Bahnkurven

Das hamiltonsche Prinzip besagt, dass für die klassische Bahn das Wirkungsintegral stationär unter Variation der Bahnkurven ist:

Eine Näherung in erster Ordnung lautet für eine gewöhnliche Funktion  

also

 .

In erster Ordnung ergibt sich die Variation des Integrals also zu

 .

Nun führt man eine partielle Integration in dem Term aus, der die Ableitung nach der Zeit enthält:

 .

Hierbei wird benutzt, dass

ist, da Anfangs- und Endpunkt festgehalten werden. Daher gilt für die Randterme

Damit resultiert schließlich

Da nun   als Faktor des gesamten Integrals auftritt und beliebig ist, kann das Integral nur dann nach dem Variationsprinzip verschwinden, wenn der Integrand selbst verschwindet. Es folgen die Lagrange-Gleichungen oder Lagrange-Gleichungen zweiter Art (die Euler-Lagrange-Gleichungen des hier betrachteten Variationsproblems):

Für jede generalisierte Koordinate   (und die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit  ) gibt es eine solche Gleichung. Die Lagrange-Gleichungen bilden ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung bezüglich der Zeitableitung. Wie viele Differentialgleichungen das im Endeffekt sind, weiß man erst, wenn die Zahl der Freiheitsgrade des "Systems" berechnet wurden.

Wenn die Lagrange-Funktion   nicht von einer Koordinate   abhängt, sondern nur von der zugehörigen Geschwindigkeit   dann nennt man   zyklisch, zyklische Koordinate oder zyklische Variable. Der zur zyklischen Variablen   konjugierte Impuls

ist eine Erhaltungsgröße: ihr Wert ändert sich nicht während der Bewegung, wie gleich gezeigt wird. Wenn die Lagrange-Funktion nicht von   abhängt, gilt

Dann folgt aber aus der Euler-Lagrange-Gleichung, dass die Zeitableitung des zugehörigen konjugierten Impulses verschwindet und er somit zeitlich konstant ist:

Allgemeiner gehört nach dem Noether-Theorem zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Wirkung eine Erhaltungsgröße. Bei einer zyklischen Variablen ist die Wirkung invariant unter der Verschiebung von   um eine beliebige Konstante,  

In der Feldtheorie ergibt sich die Bewegungsgleichung aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder zu

wobei   das betrachtete Feld und   die Lagrange-Dichte sind.

Man kann dies in Kurzform auch schreiben als

mit der so definierten Variationsableitung    .

Hinweis: Der Lagrange-Formalismus ist auch der Ausgangspunkt vieler Formulierungen der Quantenfeldtheorie.

In der relativistischen Mechanik kann die Lagrange-Funktion eines freien Teilchens aus dem Hamiltonschen Prinzip abgeleitet werden, indem für die Wirkung der einfachste Fall eines relativistischen Skalars angenommen wird:

wobei   das zur Eigenzeit proportionale relativistische Linienelement ist und ein konstanter Faktor   gewählt wurde.

Die Lagrange-Funktion eines freien Teilchens ist hier nicht mehr mit der kinetischen Energie identisch (manchmal spricht man deshalb auch von kinetischer Ergänzungsenergie T in der Lagrange-Funktion). Die relativistische kinetische Energie eines Körpers mit der Masse   und Geschwindigkeit   ohne Zwangsbedingungen beträgt

während für die Lagrange-Funktion die kinetische Ergänzungsenergie

maßgeblich ist. Die Lagrange-Funktion für ein Teilchen in einem Potential V ergibt sich dann zu

Für ein  -Teilchensystem ist die Lagrange-Funktion mit den generalisierten Koordinaten

wobei   die Anzahl der Freiheitsgrade und   die Anzahl der holonomen Zwangsbedingungen ist.

Für kleine Geschwindigkeiten   kann man die Wurzel bis zur ersten Ordnung entwickeln  :

Die nullte Ordnung der Entwicklung ist eine Konstante, die negative Ruheenergie. Da die Lagrange-Gleichungen invariant sind unter Addition einer Konstanten zur Lagrange-Funktion, kann man den konstanten ersten Term vernachlässigen und man erhält wieder die klassische kinetische Energie:

Richard Feynman hat als Erster diese Herangehensweise auch konsequent für die Herleitung der Gleichungen der Quantenmechanik verwendet. In der klassischen Physik ergeben sich die oben beschriebenen Lagrange-Gleichungen aus der Forderung, dass das Wirkungsintegral stationär wird. In Feynmans Pfadintegral-Formalismus ist die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass ein System zwischen Anfangs- und Endbedingungen einen bestimmten Pfad einschlägt, proportional   mit dem Wirkungsintegral  . Pfade in der Umgebung des klassischen Weges, für den die Variation von   verschwindet, liefern dabei meist die Hauptbeiträge, da sich in ihrer Umgebung die Beiträge mit fast gleichen Phasenfaktoren addieren.

Masse im harmonischen Potential (konservativ)

Eine Masse   sei über zwei Federn mit Federkonstante   und festen Randbedingungen verbunden. Grundvoraussetzung zur Beschreibung des Problems im Lagrange-Formalismus ist das Aufstellen der Lagrange-Funktion, indem man die Terme für kinetische Energie   und potentielle Energie   aufstellt:

Die Lagrange-Funktion lautet daher:

Die Lagrange-Funktion wiederum wird zur analytischen Beschreibung des physikalischen Problems in die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt, was dann auf Gleichungen führt, die den Bewegungsgleichungen in der Newtonschen Mechanik entsprechen. In diesem Beispiel lautet die generalisierte Koordinate  , die Euler-Lagrange-Gleichung

und daraus dann

führen auf die Bewegungsgleichung des Systems:

 .

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist  ,   ist die Zeit,   die Kreisfrequenz. Die konstante Amplitude   und Phase   können aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden.

Ladung im elektromagnetischen Feld (nicht-konservativ)

Eine Punktladung   mit Masse   bewege sich im elektromagnetischen Feld. Die generalisierten Koordinaten entsprechen den kartesischen Koordinaten in 3 Raumdimensionen.

Die Felder (Magnetfeld   und elektrisches Feld  ) werden über das Skalarpotential   und das Vektorpotential   bestimmt:

Die kinetische Energie des Teilchens ist klassisch:

Das „Potential“ ist hier allerdings geschwindigkeitsabhängig, man spricht deshalb wie oben dargestellt von einem generalisierten Potential:

Somit ist die Lagrange-Funktion eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld:

Die Euler-Lagrange-Gleichungen   führt auf die Bewegungsgleichung, auf deren rechter Seite die Lorentzkraft steht:

Masse an Trommel (nicht-konservativ)

Die Achse einer Aufzugtrommel wird durch ein Drehmoment   angetrieben. Die Masse der Last beträgt  , das Massenträgheitsmoment der Trommel ist  . Der Radius der Trommel ist  .

Zwischen den Koordinaten   und   besteht folgende Beziehung:

Die kinetische Energie ist:

Die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte ist

Daraus folgt schließlich die Bewegungsgleichung

Die Auflösung dieser Gleichung nach der Winkelbeschleunigung ergibt

Atwoodsche Fallmaschine (Methode erster Art)

Bei der Atwoodschen Fallmaschine betrachtet man zwei Punktmassen im Gravitationsfeld der Erde, die über eine Rolle in der Höhe h aufgehängt und durch ein Seil der Länge l verbunden seien. Die Zwangsbedingung lautet in diesem Fall:

Wird das Seil berücksichtigt, das auf der Rolle (Rollenradius r) liegt, dann ergibt sich:

Die potentielle Energie V berechnet sich zu:

Für die Gradienten erhält man

Dies führt auf das System der Lagrange-Gleichungen 1. Art:

Dies kann man auflösen und erhält z. B. für bekannte Anfangsbedingungen:

Teilchen im freien Fall (allgemeine Relativitätstheorie)

In der allgemeinen Relativitätstheorie durchlaufen frei fallende Teilchen Weltlinien längster Zeit: zwischen zwei (genügend nah beieinander liegenden) Ereignissen   und   vergeht auf einer mitgeführten Uhr auf der Weltlinie frei fallender Teilchen mehr Zeit, als auf allen anderen Weltlinien durch diese Ereignisse. Sei   ein entlang des Pfades monoton wachsender Laufparameter, so ergibt sich die verstrichene Zeit zu

mit der Lagrange-Funktion

Dabei sind   die Komponentenfunktionen der Metrik (sowohl Raum- als auch Zeitkomponenten). Wir rechnen einfachheitshalber in Maßsystemen, in denen die Lichtgeschwindigkeit dimensionslos ist und den Wert   hat, und verwenden die Einsteinsche Summenkonvention.

Der zu   konjugierte Impuls ist

und die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten

Verwenden wir hier als Abkürzung das Christoffel-Symbol

so erweist sich die Weltlinie längster Dauer als Gerade: die Richtung der Tangente an die Weltlinie

ändert sich nicht bei Parallelverschiebung längs der Weltlinie

Die Parametrisierung wird nicht festgelegt. Verfügen wir so über sie, dass der Tangentialvektor überall gleich lang ist, dann ist   konstant und der Tangentialvektor geht beim Durchlaufen der Weltlinie in sich über. Sie erfüllt die Geodätengleichung

Dies ist die allgemein-relativistische Form der Bewegungsgleichung eines frei fallenden Teilchens. Die Gravitation ist in den   voll berücksichtigt.

Der Lagrange-Formalismus wird in vielen ein- und weiterführenden Lehrbüchern der klassischen Mechanik behandelt.

• Josef Honerkamp, Hartmann Römer: Klassische Theoretische Physik. 3. Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-55901-9. (Volltext hier erhältlich)
• Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, 2006, ISBN 3-527-40589-5.
• Cornelius Lanczos: The Variational Principles of Mechanics. 4. Auflage. Dover Publ. Inc, 1986, ISBN 0-486-65067-7.
• Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. 8. Auflage. Wiley-Vch, 2008, ISBN 3-527-40721-9.

Literatur zu Pfadintegralen.

• Hagen Kleinert: Pfadintegrale in Quantenmechanik, Statistik und Polymerphysik. Spektrum, Mannheim 1993, ISBN 3-86025-613-0.

• Whittaker Analytische Dynamik der Punkte und starren Körper, Springer, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 1924
• Artikel Von d´Alembert zu Lagrange II auf www.matheplanet.com
• Anwendungen des Lagrange-Formalismus an Beispielen der Oberstufenphysik

1. ↑ Landau, Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik I – Mechanik. Akademie-Verlag Berlin 1987, S. 156.
2. ↑ Zum Beispiel Hamel Theoretische Mechanik, Springer Verlag 1967, S. 281.
3. ↑ Die realen anholonomen Zwangsbedingungen wären   Das Zeitdifferential   verschwindet per definitionem bei den zugehörigen sog. virtuellen Verschiebungen  
4. ↑ Siehe Variationsrechnung. Dort ergeben sich die Euler-Lagrange-Gleichungen aus der Variation eines Funktionals. In der Mechanik ist das betrachtete Funktional die Wirkungsfunktion und man spricht von Lagrange-Gleichung.