„Tschebyscheffsche Ungleichung“ – Versionsunterschied – Wikipedia


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Die oben genannte Version der Ungleichung erhält man als Spezialfall, indem man <math>\nu = P</math>, <math>f=|X-\mu|</math> und <math>p=2</math> setzt, denn dann ist

:<math>P(|X-\mu| \ge k) = P(|X-\mu|^2 \ge k^2) \le \frac{1}{k^2}\int_\Omega |X-\mu|^2 \;{\rm d}P = \frac{\sigma^2}{k^2}</math>.

=== Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung ===

{{Hauptartikel|Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung}}

Die Tschebyscheffsche Ungleichung kann auf mehrdimensionale Zufallsvariable erweitert werden.

Ist X = (<math>x^1,...,x^n</math>) eine n-dimensionale Zufallsvariable, die auf den "Mittelpunkt" (μ(x<sup>1</sup>) / ... / μ(x<sup>n</sup>) ) zentriert wurde, so gilt für die zentrierte Variable die [[Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung]]:

1 - P( <math> (x^1,...x^n)C^{-1}\begin{pmatrix}x^1\\...\\x^n\end{pmatrix}\le k^2 </math>) ≤ <math>\tfrac{n}{k^2}</math>▼

▲ :<math> 1 - P( <math> (x^1,...x^n)C^{-1}\begin{pmatrix}x^1\\...\\x^n\end{pmatrix}\le k^2 </math>) ≤\leq <math>\tfrac{n}{k^2}</math>

=== Exponentielle Tschebyscheff-Ungleichung ===

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== Anwendungen ==

* Die tschebyscheffsche Ungleichung gehtwird wesentlichbeispielsweise einbeim in die Beweise des [[Borel-Cantelli-Lemma]]s undBeweis des [[Schwaches Gesetz der großen Zahlen|Schwachen Gesetzes der großen Zahlen]] verwendet.<ref name="HB_2">Heinz Bauer: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2002, S. 69 ff</ref>

* Die Verallgemeinerung auf höhere Momente kann benutzt werden, um zu zeigen, dass aus der <math>L^p\;</math>-Konvergenz von [[Funktionenfolge]]n die [[Konvergenz im Maß]] folgt.

* Für den [[Median (Stochastik)|Median]] <math>m</math> gilt <math>\left|\mu-m\right| \leq \sigma</math>.

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== Beweisskizze ==

Die meisten Autoren führen die tschebyscheffsche Ungleichung als Spezialfall der [[Markow-Ungleichung (Stochastik)|Markow-Ungleichung]]

:<math>

:<math>P \left( Y \geq k \right) \leq \frac{\operatorname{E}\left(h(Y)\right)}{h(k)}.</math>

</math>

mit <math> Y= |X-\mu| </math> und der Funktion <math> h(x)=x^2 </math> ein.<ref>{{Literatur |Autor=[[Achim Klenke]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Auflage=3. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-36017-6 |Seiten=110 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Hans-Otto Georgii |Titel=Stochastik |TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik |Auflage=4. |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=2009 |ISBN=978-3-11-021526-7 |Seiten=122 |DOI=10.1515/9783110215274}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Auflage=2., durchgesehene |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Heidelberg Dordrecht London New York |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |Seiten=288 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}</ref>

Wie man die Markow-Ungleichung mit schulgemäßen Mitteln aus einem unmittelbar einsichtigen Flächenvergleich folgern und dann daraus diese Fassung der Ungleichung von Tschebyscheff herleiten kann, findet man zum Beispiel bei Wirths.<ref>H. Wirths: Der Erwartungswert – Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In: Mathematik in der Schule 1995/Heft 6, S. 330–343</ref> Für einen direkten Beweis definiert man

:<math> A_k= \{ \omega \in \Omega \mid |X - \mu| \geq k \} </math>.▼

Für einen direkten Beweis definiert man

:<math>

▲:<math> A_k= \{ \omega \in \Omega \mid |X - \mu| \geq k \} </math>.

</math>

Bezeichnet <math> \mathbf 1_A </math> die [[Indikatorfunktion]] auf der Menge <math> A </math>, so gilt für alle <math> \omega </math> die Ungleichung

:<math>
|X(\omega)-\mu|^2 \geq k^2 \mathbf 1_{A_k}(\omega) .
</math>.

Denn ist <math> \omega \notin A_k </math>, so ist die rechte Seite null und die Ungleichung erfüllt. Ist <math> \omega \in A_k </math>, so hat die linke Seite nach Definition der Mengen <math> A_k </math> mindestens den Wert <math> k^2 </math>, und die Ungleichung ist wiederum erfüllt. Mit der Monotonie des Erwartungswertes und seinen elementaren Rechenregeln folgt über die Definition der Varianz

:<math>

:<math> \sigma^2 = \operatorname{Var}(X)= \operatorname E (|X-\mu|^2) \geq \operatorname E (k^2 \mathbf 1_{A_k})= k^2 P(A_k)= k^2P(|X - \mu| \geq k) </math>.▼

\sigma^2 = \operatorname{Var}(X)= \operatorname E (|X-\mu|^2)

▲:<math> \sigma^2 = \operatorname{Var}(X)= \operatorname E (|X-\mu|^2) \geq \operatorname E (k^2 \mathbf 1_{A_k})= k^2 P(A_k)= k^2P(|X - \mu| \geq k) </math>.

</math>

Teilen durch <math> k^2 </math> liefert die Tschebyscheff-Ungleichung.<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Elementare Stochastik |TitelErg=Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2013 |ISBN=978-3-8348-1939-0 |Seiten=229-230 |DOI=10.1007/978-3-8348-2331-1}}</ref>▼

Diese ergibt sich aber auch ohne Erwartungswert-Regeln aus einem einfachen Flächenvergleich, ausgehend von der allgemeingültigen Darstellung [[Erwartungswert#(3)|(3)]] auf der Seite [[Erwartungswert]].<ref>Roland Uhl: ''Charakterisierung des Erwartungswertes am Graphen der Verteilungsfunktion''. Technische Hochschule Brandenburg, 2023, {{DOI|10.25933/opus4-2986}} ([https://opus4.kobv.de/opus4-fhbrb/files/2986/Uhl2023.pdf PDF]). S.&nbsp;5.</ref>

▲Teilen durch <math> k^2 </math> liefert die Ungleichung.<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Elementare Stochastik |TitelErg=Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2013 |ISBN=978-3-8348-1939-0 |Seiten=229-230 |DOI=10.1007/978-3-8348-2331-1}}</ref>

== Verwandte Resultate ==

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* [[Ungleichung von Ottaviani-Skorokhod]]

* [[Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung]]

* [[Hoeffding-Ungleichung]]

== Literatur ==

Zeile 180 ⟶ 188:

<references />

[[Kategorie:ZufallsvariableStochastik]]

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:Ungleichung (Stochastik)]]