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== Beispiele ==
=== Beispiel 1 ===
Nehmen wir zum Beispiel an, dass die Länge von Wikipedia-ArtikelArtikeln einen Erwartungswert der Länge von 1000 Zeichen mit einer [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] von 200 Zeichen habenhat. Aus der ''tschebyscheffschen Ungleichung'' kann man dann ableiten, dass mit mindestens 75 % Wahrscheinlichkeit ein Wikipedia-Artikel eine Länge zwischen 600 und 1400 Zeichen hat (<math>k=400, ~ \mu=1000, ~ \sigma=200</math>).
Der Wert für die Wahrscheinlichkeit wird auf folgende Weise berechnet:
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=== Beispiel 3 ===
Ein Zufallsereignis tritt bei einem Versuch mit Wahrscheinlichkeit <math>p</math> ein. Der Versuch wird <math>n</math>-mal wiederholt; das Ereignis trete dabei <math>k</math>-mal auf. <math>k</math> ist dann [[Binomialverteilung|binomialverteilt]] und hat Erwartungswert <math>np</math> und Varianz <math>np(1-p)</math>; die relative Häufigkeit <math>\tfrac{k}{n}</math> des Eintretens hat somit Erwartungswert <math>p</math> und Varianz <math>\tfrac{p(1-p)}{n}</math>. Für die Abweichung der relativen Häufigkeit vom Erwartungswert liefert die tschebyscheffsche Ungleichung
:<math>\operatorname{P}\left[\left|\frac{k}{n}-p \right|\geq \epsilon \right] \leq \frac{p(1-p)}{\epsilon^2n} \leq \frac{1}{4\epsilon^2n} </math>,
wobei für die zweite Abschätzung die unmittelbar aus der [[Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel]] folgende Beziehung <math>\sqrt{p(1-p)}\leq \tfrac{1}{2}</math> verwendet wurde.
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