Primideal


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Teilmenge eines Ringes in der Ringtheorie

In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.

Es sei   ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal   Primideal oder prim, falls   echt ist, also  , und wenn für alle Ideale   gilt:[1]

Aus   folgt   oder  

Außerdem heißt   vollständiges Primideal oder vollprim, falls   echt ist und wenn für alle   gilt:

Aus   folgt   oder  
  • Ein zweiseitiges Ideal   ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle   gilt:
Aus (für alle   gilt  ) folgt (  oder  ).

Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings   heißt Spektrum von   und wird mit   notiert.

  • Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen  -Matrizen prim, aber nicht vollprim.
  • In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.

In kommutativen Ringen   mit Einselement gilt:

  • Ein Element   ist genau dann ein Primelement, wenn das von   erzeugte Hauptideal   ein Primideal ist.[2]
  • Ein Ideal   ist genau dann prim, wenn der Faktorring   ein Integritätsring ist.
  • Enthält ein Primideal einen Durchschnitt   von endlich vielen Idealen von  , so enthält es auch eines der Ideale  .
  • Ein Ideal   ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge   multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach  , worunter man den Ring   versteht, den man auch als   schreibt.[3]
  • Die Menge   der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring   der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
  • Die Menge   der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in  , da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
  • Im Ring   ist das maximale Ideal   kein Primideal.
  • Ein maximales Ideal   eines Ringes   ist genau dann prim, wenn  . Insbesondere ist   prim, falls   ein Einselement enthält.
  • Das Nullideal   in einem kommutativen Ring   mit Einselement ist genau dann ein Primideal, wenn   ein Integritätsbereich ist. In einem nicht-kommutativen Ring gilt diese Äquivalenz nicht.
  • Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus kommutativer Ringe ist entweder der ganze Ring oder ein Primideal. Das gilt nicht allgemein, so ist etwa das Nullideal im Ring der  -Matrizen über einem Körper prim, aber dessen Urbild unter der Inklusion des Rings der (oberen oder unteren)  -Dreiecksmatrizen über dem Körper nicht.

Im Folgenden sei stets   ein kommutativer Ring und   eine ganze Ringerweiterung. Dann existiert zu jedem Primideal   ein Primideal  , so dass   über   liegt, d. h.

 .

In diesem Fall sagt man auch, dass   die Lying Over Eigenschaft erfüllt. Ist zudem   eine Einbettung von   in  , so ist die von   induzierte Abbildung   mit   surjektiv.

Des Weiteren erfüllt   die Going Down Eigenschaft, falls folgendes gilt: Ist

 

eine Kette von Primidealen in   und

 

eine Kette von Primidealen in   mit  , so dass außerdem   über   liegt für alle  , so lässt sich letztere zu einer Kette

 

ergänzen, so dass jedes   über   liegt. Diese ist unter anderem dann erfüllt, wenn   Integritätsringe sind und   ganzabgeschlossen ist.

  1. ↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.2.3'
  2. ↑ K. Meyberg: Algebra, Teil 1, Carl Hanser Verlag München (1975), ISBN 3-446-11965-5, Satz 3.6.5
  3. ↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel III, § 4, Beispiel d) hinter Satz 3.5