En matemáticas, particularmente dentro de la teoría de anillos, un ideal principal es un ideal generado por un único elemento.
Si R es un anillo conmutativo y a es un elemento de R, el ideal principal generado por a es el conjunto
.
Al ideal también se le suele denotar como .
La verificación de que dicho conjunto es un ideal procede como sigue:
Cuando el anillo no es conmutativo, es necesario hacer diferencias entre ideales izquierdos y derechos.
Si es un anillo y es un elemento de , el ideal principal izquierdo generado por es el conjunto
,
mientras que el ideal principal derecho generado por es el conjunto
.
En el caso de anillos conmutativos, los conceptos de ideal izquierdo y derecho son equivalentes.
Considérese el anillo R. Entonces el conjunto de todos los múltiplos de 3 es el ideal principal generado por 3, puesto que un entero n es múltiplo de 3 precisamente cuando existe un número entero k tal que .
Un ideal no tiene por qué ser siempre principal. Por ejemplo, sea un anillo commutativo, entonces e son ideales principales de . Ahora bien, también es un ideal, aunque este no es principal.
- Definición
El anillo íntegro K, cuyos ideales son todos principales se llama anillo de ideales principales. Todo anillo euclídeo es un anillo de ideales principales.[1]
- ↑ A. I. Kostrikin: Introducción al álgebra Editorial Mir/ Moscú, 1983