Intégrale de Gauss


Contributeurs aux projets Wikimedia

Article Images

intégrale d'une fonction gaussienne sur l'ensemble des réels

En mathématiques, une intégrale de Gauss est l'intégrale d'une fonction gaussienne sur l'ensemble des réels. Sa valeur est reliée à la constante π par la formule

La surface comprise entre la courbe d'équation y = exp(−x2) et l'axe des abscisses vaut √π.

où α est un paramètre réel strictement positif. Elle intervient dans la définition de la loi de probabilité appelée loi gaussienne, ou loi normale.

Cette formule peut être obtenue grâce à une intégrale double et un changement de variable polaire. Sa première démonstration connue est donnée par Pierre-Simon de Laplace.

Ainsi on a par exemple, avec les notations classiques :

.

Si l'on travaille à n dimensions, la formule se généralise sous la forme suivante :

Comme l'intégrande est pair, il suffit, pour montrer qu'il est intégrable sur  , de prouver qu'il est intégrable sur  . Cela résulte de ce qu'il est positif, continu, et négligeable à l'infini devant, par exemple, la fonction x ↦ x−2, intégrable sur [1, +∞[.

Un théorème de Liouville montre que l’intégrande de l'intégrale de Gauss n'admet aucune primitive s'exprimant à l'aide des fonctions usuelles (exponentielle, etc.). Cela oblige pour calculer cette intégrale à recourir à des méthodes plus ou moins « détournées », dont la plus classique et directe est celle qui utilise des intégrales doubles ; d'autres méthodes classiques existent dont une élémentaire, mais nettement plus longue, qui fait appel aux intégrales de Wallis et une autre qui utilise une fonction définie par une intégrale.

La méthode classique de calcul utilise une intégrale double qu'on exprime en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées polaires[1].

Une variante utilise une fonction définie par une intégrale[2]. Cette seconde méthode n'utilise que des résultats sur les intégrales simples (à une seule variable) usuelles (sur un intervalle fermé borné) et est donc plus élémentaire. Elle est cependant plus technique.

Quelle que soit la technique utilisée, elle démontre que  .

Soit la formule générique pour toute intégrale gaussienne :

  (où a, b, c sont réels et a > 0).

Par changement de variable et en utilisant le résultat précédent :

  (où a, b, c sont réels et a > 0).

L'intégrale de Gauss comme valeur particulière de la fonction Gamma

modifier

La valeur en 1/2 de la fonction Gamma d'Euler est

 .

Transformée de Fourier d'une fonction gaussienne

modifier

Soit la fonction gaussienne

 

Elle est intégrable sur ℝ. Sa transformée de Fourier

 

définie par

 

est telle que

 

On propose ci-dessous trois démonstrations de ce résultat.

On utilise une équation différentielle vérifiée par la fonction f.

Par définition :  

D'autre part, f est (au moins) de classe C1 et vérifie l'équation différentielle linéaire

 

On justifie (comme plus haut) que g (donc f) est intégrable sur ℝ. Dès lors (propriétés de la transformation de Fourier relatives à la dérivation) :

  • Comme f et f’ sont intégrables et f tend vers 0 à l'infini,
 
  • Comme f et g sont intégrables, F est dérivable et
 

De l'équation différentielle ci-dessus, on déduit que  , qui s'écrit :

 , ou encore :
 

Ainsi, F vérifie une équation différentielle analogue à la précédente : il existe une constante K telle que

 

On conclut en remarquant que  

On note encore f le prolongement holomorphe à ℂ de la fonction gaussienne f :

 

On calcule F(ξ) en supposant ξ > 0 (le cas où ξ < 0 se traite de même ou avec la parité ; le cas où ξ = 0 est immédiat).

Soient trois réels x1, x2, h tels que x1 < x2 et h > 0, puis dans le plan complexe le rectangle de sommets   (de côtés parallèles aux axes).

D'après le théorème intégral de Cauchy, l'intégrale de f sur le bord orienté du rectangle est nulle :

 

Or on a les égalités suivantes :

  et  
(on paramétrise le segment [C, D] par   où  ).

Ainsi :

 

L'intégrale de f sur [B, C] (resp. [D, A]) tend vers 0 quand x2 tend vers +∞ (resp. x1 tend vers –∞) (voir plus loin). D'où :

 

Le choix   dans la relation précédente (re)donne l'expression cherchée de F(ξ).

Reste à montrer que l'intégrale de f sur [B, C] tend vers 0 quand x2 tend vers +∞ :

 
(on paramétrise le segment [B, C] par  , avec  ).

D'où la majoration :

 

qui permet de conclure (l'intégrale au second membre ne dépend pas de x2). De même pour l'intégrale sur [D, A].

  1. ↑ Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  2. ↑ Voir cet exercice corrigé ou, pour une variante plus élémentaire, ce devoir corrigé sur Wikiversité.