Sous-espace affine engendré

En géométrie, dans un espace affine , le sous-espace affine engendré par une partie non vide , également dénommé l'enveloppe affine de , est le plus petit sous-espace affine de contenant .

Dans un espace affine, l'intersection d'une famille (non vide) de sous-espaces affines est soit l'ensemble vide, soit un sous-espace affine^[1] et l'espace lui-même est un sous-espace, ce qui justifie la définition suivante :

Soit   un espace affine. Pour toute partie non vide   de  , il existe un plus petit sous-espace affine de   contenant   : l'intersection de tous les sous-espaces affines de   contenant  ^[1].

On l'appelle le sous-espace affine engendré par  , et on le note souvent  ^[1] ou  ^[2], ou encore  ^[3].

Soient   et   des espaces affines et  ,   deux parties non vides de   et   une partie non vide de  .

•   est égal à l'ensemble des barycentres des points de  ^[4].
• Si   est une application affine alors  ^[5].
•   (dans l'espace affine produit  ).
•   et son enveloppe convexe engendrent le même sous-espace affine.
• Pour tout point   de  , la direction de   est le sous-espace vectoriel engendré (dans l'espace vectoriel associé à  ) par  .
•   est un opérateur de clôture :  ,  , et  .

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