Théorème de Schwarz

Le théorème de Schwarz ou de Clairaut^[1] est un théorème d'analyse portant sur les dérivées partielles secondes d'une fonction de plusieurs variables. Sous certaines hypothèses, il dit que l'ordre des deux dérivations : dériver par rapport à la variable y d'abord, puis par rapport à une variable x revient au même que dériver par rapport à la variable x d'abord puis par rapport à la variable y. Autrement dit :

Il apparaît pour la première fois dans un cours de calcul différentiel donné par Weierstrass en 1861^{[réf. nécessaire]} auquel assistait alors Hermann Schwarz à Berlin.

La symétrie de la hessienne signifie que le résultat d'une dérivation partielle à l'ordre 2 par rapport à deux variables ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport à ces deux variables :

Ce théorème est parfois appelé par les anglophones « Young's theorem^[6] » (théorème de Young), nom qui désigne également une extension aux dérivées d'ordre supérieur^[7].

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées. Un premier contre-exemple, assez compliqué, a été donné par Schwarz lui-même en 1873^{[réf. nécessaire]}. Un deuxième contre-exemple, plus simple, est proposé par Peano en 1884^[8]. Il s'agit de la fonction définie par :

qui vérifie

Considérons, en dimension 2, la 1-forme différentielle exacte suivante, où f est de classe C² :

Alors,

En appliquant le théorème de Schwarz, on en déduit :

Ceci est donc une condition nécessaire d'exactitude de la forme différentielle. Une forme différentielle vérifiant cette condition nécessaire est dite fermée.

Plus généralement, en dimension n :

toute forme exacte de classe C¹ est fermée,

ce qui, dans le cas particulier d'une 1-forme ω, s'écrit :

Lemme de Poincaré

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