Théorème de factorisation


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En mathématiques, le théorème de factorisation est un principe général qui permet de construire un morphisme d'une structure quotient dans un autre espace à partir d'un morphisme de vers , de façon à factoriser ce dernier par la surjection canonique de passage au quotient.

Diagramme commutatif représentant les morphismes du théorème de factorisation
Diagramme commutatif représentant les morphismes du théorème de factorisation

Soit   un ensemble muni d'une relation d'équivalence   et   la surjection canonique.

Théorème —  Soit   une application telle que (pour toute paire d'éléments x, x' dans X)

 .

Alors, il existe une unique application

 .

De plus :

  •   est injective si et seulement si, réciproquement,   (et donc si  ) ;
  •   est surjective si et seulement si   est surjective ;
  •   est bijective si   est surjective et si  .

Démonstration

  • L'unicité de g est immédiate et guide la preuve de son existence, dont voici plusieurs variantes :
    • Preuve « naïve » : pour tout élément  , on pose  . Si   pour un élément   équivalent à  , on a   par hypothèse. Donc   est bien définie. Par construction, f = g∘s.
    • Formalisation de la preuve « naïve », rendant plus manifeste l'utilisation de l'axiome du choix : soit t une section de s (c'est-à-dire une application qui à chaque classe associe un élément de cette classe). On pose g = f∘t. Alors, pour tout élément x de X, (t∘s)(x) R x donc f((t∘s)(x)) = f(x), c'est-à-dire (g∘s)(x) = f(x) ; on a donc bien f = g∘s[1].
    • Preuve sans axiome du choix : par hypothèse, f envoie tous les éléments d'une classe z sur un même élément y de Y. L'assignation z ↦ y définit alors l'application g qui convient[2].
    • Formalisation de la preuve sans axiome du choix : en notant F et S les graphes de f et s, la relation binaire G = F ∘ S−1 (définie par : zGy s'il existe un x tel que z = s(x) et f(x) = y) est fonctionnelle et définit l'application g qui convient.
  • Si f est surjective, l'égalité f = g∘s implique que g est aussi surjective.
  • Supposons que   est équivalent à  . Soient   tels que  . Alors  , donc   et  . Ce qui veut dire que   est injective.
  • La dernière propriété résulte des deux précédentes.

(La réciproque est moins utile mais immédiate : pour toute application g : X/R → Y, la composée f = g∘s vérifie x R x' ⇒ f(x) = f(x').)

Ce théorème peut se spécialiser à un certain nombre de structures algébriques ou topologiques.

Sur un groupe  , on considère la relation d'équivalence définie par un sous-groupe normal   de   :   si  . Alors, la surjection canonique   est un morphisme de groupes et le théorème de factorisation s'énonce

Théorème —  Soit   un morphisme de groupes. Si   est contenu dans le noyau de  , alors il existe un unique morphisme de groupes   tel que  . De plus :

  •   est surjectif si   est surjectif ;
  •   est injectif si on a   ;
  •   est un isomorphisme si   est surjectif et  .

Démonstration

L'existence de   est assurée par le théorème général plus haut. Le fait que   soit un morphisme de groupes vient du fait que   et   sont des morphismes de groupes.

Si  , alors   si et seulement si  . Cette dernière condition équivaut à  . D'après le théorème général,   est injective.

On considère un espace vectoriel   et la relation d'équivalence définie par un sous-espace vectoriel   :   si  . Alors, la surjection canonique   est linéaire.

Théorème —  Soit   une application linéaire. Si   est contenu dans le noyau de  , alors il existe une unique application linéaire   telle que  . De plus :

  •   est surjective si   est surjective ;
  •   est injective si on a   ;
  •   est un isomorphisme si   est surjective et  .

On considère un anneau   et la relation d'équivalence définie par un idéal bilatère   de   :   si  . Alors, la surjection canonique   est un morphisme d'anneaux.

Théorème —  Soit   un morphisme d'anneaux. Si   est contenu dans le noyau de  , alors il existe un unique morphisme d'anneaux   tel que  . De plus :

  •   est surjectif si   est surjectif ;
  •   est injectif si on a   ;
  •   est un isomorphisme si   est surjectif et  .

Le cas des espaces topologiques

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Soit   un espace topologique muni d'une relation d'équivalence   et   la surjection canonique. On munit   de la topologie quotient. Soit   une application continue.

Théorème —  Si pour tout couple   dans  , on a  , alors il existe une unique application continue   telle que  . De plus :

Démonstration

La continuité de   résulte immédiatement des propriétés générales de la topologie quotient. Pour toute partie   de  , on a  , cela implique la propriété sur les applications ouvertes ou fermées.

Magma quotient