ランデン変換
ウィキメディアプロジェクトへの貢献者
ランデン変換 (Landen's transformation) は、数学において楕円積分や楕円関数の母数を増減させる恒等式。楕円関数の数値計算に有用である。
第一種楕円積分
につき、次の恒等式をランデン変換という。
同じく、次の恒等式をガウス変換という。
ランデン変換は
の置換により導かれる。
を陽にすると
である。
ガウス変換は
の置換により導かれる。
を陽にすると
である。
次の恒等式を楕円関数の上昇ランデン変換という。
次の恒等式を楕円関数の下降ランデン変換という。
当初の母数が であれば、上昇ランデン変換は母数を増加させ、下降ランデン変換は母数を減少させる。上昇ランデン変換を繰り返すことにより、母数が1に収束し、楕円関数は双曲線関数に近似される。下降ランデン変換を繰り返すことにより、母数が0に収束し、楕円関数は三角関数に近似される。この性質により、ランデン変換は楕円関数の数値計算に有用である。
楕円積分のランデン変換により
のときに
であるから
である。楕円積分のガウス変換により
のときに
であるから
であるが、 を に改め、 を に改めれば
となる。
上昇ランデン変換と下降ランデン変換は虚数変換により交替する。
上昇ランデン変換により
虚数変換により
を と書き、 を と書けば
となるが、これは下降ランデン変換である。