円分体
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Article Images円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の 乗根 を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。
以下において、特に断らない限り、 とする。
m を 3 以上の整数として、円分体を とする。
(1) m が素数のとき
K の判別式は、 である。
(2) (p は素数、h は 2 以上の整数)のとき
K の判別式は、 である。但し、
(3) ( は相異なる素数、 であるときには
円分体 の判別式を とすると、 K の判別式は、
である。
クロネッカー=ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)
K が有理数体上のアーベル拡大体のとき、ある整数 が存在して、
- となる。
例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー=ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。
クロネッカー=ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。
素数 p に対して、
の左辺を、 上で分解すると、
となる。 ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的であることが前提になっており、 のとき、それが成立しないことを示した。 そのため、 (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。
クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。
クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。
- 素数 p は、円分体 の類数を割り切らない。
正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。
クンマーの補題
素数 p が正則素数であれば、円分体 の単数 ε を、 となる有理整数 a が存在するようにとると、 の単数 が存在して、 と表される。
正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。
ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示した[注釈 3]。さらに、 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。 高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。
以下において、p を奇素数とする。
円分体 の類数を 、最大実部分体 の類数を とすると、 ( は有理整数)と表すことができる。 このとき、 を第1因子または相対類数、 を第2因子または実類数という。
第1因子については、以下の様な性質がある。
- 素数 p に対して、p が を割り切る必要十分条件は、p が第1因子を割り切ることである。
- つまり、第1因子が p で割り切れないならば、p は正則素数である。
- この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。
- 素数 p に対して、p が第1因子を割り切る必要十分条件は、 が、 を割り切る様な整数 k が存在することである。
- が奇数であるならば、 は奇数である。
クンマーは、第1因子の増大度に対して、 と予想した。 但し、 。[注釈 4]
この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。
- 。
第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。
- q を素数とし、 とする。 が素数であるならば、 である。
ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、p は を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想)。現在でも、この予想が正しいかは不明である[2]。
円分体の類数を求めるには、 より、第1因子と第2因子を求めればよい。[注釈 5]
- 第1因子
- 。
- ここで、
- S は、 を満たす、法 m に関する指標の集合とする。
- 特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。
- 。
- m が素数のとき、以下の様な式がある。
- ここで、η は、1 の原始 乗根とし、 。
- 但し、g を、法 p に対する原始根としたとき、 に対して、 は、 を満たす正整数とする。
- p の倍数ではない整数 r に対して、 を、 を満たすようにとる。
- また、 を、 を満たすようにとる。
- [注釈 6]とおくと、
- である。
- 第2因子
- 。
- ここで、R は、 の単数基準、T は、 を満たす、法 m に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。
- 特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。
- 。
- ここで、η は、1 の原始 乗根、g は、法 p に対する原始根とする。
- m が素数のとき、以下の様な式がある。
- に対して、 [注釈 7] とおく。
- g を法 p に関する原始根とし、 とおく。
- また、σ を、 を満たす、 の生成元とする。
- とおくと、
- 。
- 但し、R は、 の単数基準とする。
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- 高木貞治『代数的整数論』(第2版)岩波書店、東京、1971年4月。ISBN 978-4-00-005630-4。
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- 『円分体』 - コトバンク
- 『cyclotomic field』 - コトバンク
- Rowland, Todd. "Cyclotomic Field". mathworld.wolfram.com (英語).