Дискретное пространство

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.

• Пусть   — некоторое множество, а   — семейство всех его подмножеств. Тогда   является топологией на этом множестве, называемой дискретной топологией, а пара   называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством.
• Пусть   — метрическое пространство, где метрика   определена следующим образом:

Тогда   называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.

Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное — неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.

• Пусть   где  , и   — дискретная метрика на  . Тогда   — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
• Пусть   и   Данная метрика не дискретна, однако она порождает дискретную топологию.

• Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда каждое его одноточечное подмножество открыто.
• Все одноточечные подмножества дискретного топологического пространства образуют базу дискретной топологии.
• Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
• Дискретное метрическое пространство ограничено.
• Любые два дискретных топологических пространства, имеющие одинаковую мощность, гомеоморфны.
• Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
• Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Тривиальная топология.