Квадратный корень из 5
Contributors to Wikimedia projects
Article ImagesКвадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число[2].
Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π | |
Система счисления | Оценка числа √5 |
Десятичная | 2.23606797749978969… |
Двоичная | 10.0011110001101111… |
Двенадцатеричная | 2.29BB1325405891918… |
Шестнадцатеричная | 2.3C6EF372FE94F82C… |
Шестидесятеричная | 2;14 09 50 40 59 18 … |
Рациональные приближения | 7/3; 9/4; 20/9; 29/13; 38/17; 123/55; 161/72; 360/161; 521/233; 682/305; 2207/987; 2889/1292
(перечислено в порядке увеличения точности) |
Непрерывная дробь |
Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков[3].
Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:
Через бесконечный вложенный радикал:
Вычисление корня из , начиная с , где :
Золотое сечение — среднее арифметическое 1 и корня из 5[4]. ( ) алгебраически можно выразить так:
Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:
Отношение √5 к и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка[5]:
Кольцо содержит числа вида , где a и b целые числа и — мнимое число. Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.
Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:
Поле — абелево расширение рациональных чисел.
Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:
Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями[6][7].
Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:
Доказательство иррациональности
Докажем, что число — иррациональное число. Докажем от противного. Допустим, что число можно представить в виде несократимой дроби , где — целое число, а — натуральное:
делится на , значит, тоже делится на ; следовательно, делится на , а значит, и делится на . То есть, дробь можно сократить, а это противоречит изначальному утверждению. Значит, исходное утверждение было неверным, и — иррациональное число.
- ↑ The square root of five. Дата обращения: 15 февраля 2015. Архивировано 11 сентября 2015 года.
- ↑ Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122.
- ↑ R. Nemiroff and J. Bonnell: The first 1 million digits of the square root of 5 Архивная копия от 5 января 2011 на Wayback Machine
- ↑ Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Section: C; Page 1. (Note — this is a widely cited article).
- ↑ Richard K. Guy: «The Strong Law of Small Numbers». American Mathematical Monthly, vol. 95, 1988, pp. 675—712
- ↑ Ramanathan, K. G. (1984), "On the Rogers-Ramanujan continued fraction", Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences, 93 (2): 67—77, doi:10.1007/BF02840651, ISSN 0253-4142, MR: 813071
- ↑ Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions, Архивировано 24 января 2011, Дата обращения: 8 октября 2010 Источник. Дата обращения: 8 октября 2010. Архивировано 24 января 2011 года. at MathWorld
- Proof that square root of 5 is irrational (недоступная ссылка) (англ.)
- Theodorus' Constant Архивная копия от 18 марта 2020 на Wayback Machine at MathWorld