Теорема Абеля

Теорема Абеля — результат теории степенных рядов, названный в честь норвежского математика Нильса Абеля. Обратной к ней является теорема Абеля — Таубера.

Пусть   — степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости  .

Если ряд   является сходящимся, тогда:

Заменой переменных  , можно считать  . Также (необходимым подбором  ) можно предположить  . Обозначим   частичные суммы ряда  . Согласно предположению   и нужно доказать, что  .

Рассмотрим  . Тогда (приняв  ):

Отсюда получается  .

Для произвольного   существует натуральное число  , что   для всех  , поэтому:

Правая часть стремится к   когда   стремится к 1, в частности она меньше   при следовании   к 1.

Возьмем  . Поскольку ряд   сходится, имеем:

Возьмем  . Поскольку ряд   сходится, имеем:

• Abel summability (англ.) на сайте PlanetMath. (a more general look at Abelian theorems of this type)
• Weisstein, Eric W. Abel's Convergence Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.