Теорема Вейерштрасса — Стоуна

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна^[⇨].

Первоначально сформулирована и доказана Карлом Вейерштрассом в 1885 году для непрерывных на отрезке вещественной прямой функций, устанавливая возможность их равномерно приблизить последовательностью многочленов^[⇨]. В 1937 году Маршалл Стоун существенно обобщил результат^[⇨], распространив результат на функции, непрерывные на произвольном T₂-отделимом компактном пространстве, образующие кольцо, а в качестве равномерно сходящихся последовательностей функций вместо многочленов — функции из специфичного подкласса непрерывных функций, образующего подкольцо.

Позднее найдены и другие обобщения результата^[⇨].

Пусть   — непрерывная функция, определённая на отрезке  . Тогда для любого   существует такой многочлен   с вещественными коэффициентами, что для всех   из   одновременно выполнено условие  ^[1].

Если   непрерывна на круге (периодична), то утверждение верно и для тригонометрических многочленов.

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома   следует считать комплексными числами и к полиномам следует добавить их комплексные сопряжения.

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году^[2] как следствие более общего утверждения: для вещественной непрерывной на   ограниченной функции   и четной положительной функции   со сходящимся интегралом

при всех   имеет место равенство

 .

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен  , но и что сходимость равномерная по  , меняющемся на любом конечном отрезке.

В случае, когда  , каждая функция из семейства:

вполне определена при всех комплексных   и является целой. Поэтому её можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (теорема Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию   можно равномерно приблизить многочленами на любом конечном интервале.

Если к тому же   — периодическая функция с периодом  , то функции   являются целыми периодическими функциями. Но тогда:

является однозначной и голоморфной функцией в области   и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

 ,

поэтому  , а значит и   можно приблизить тригонометрическими многочленами.

В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а формирующийся на базе интегрального и дифференциального исчисления анализ занимался произвольными функциями, так, Герман Ханкель особо отмечал: «о функции   от   говорят, когда каждому значению переменной  , [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение  ; при этом не существенно, зависит ли   от   во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций»^[3], подчёркивая, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция есть предел многочленов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Согласно теореме Вейерштрасса пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

В 1935 году Стоун доказал, что всякую функцию из кольца   непрерывных на хаусдорфовом компакте   вещественнозначных функций можно равномерно приблизить функциями специального класса — составляющими алгебру Стоуна, то есть любая алгебра Стоуна   является всюду плотной в пространстве непрерывных функций на компакте:  . В качестве нормы равномерной сходимости на   берётся  , а алгебра Стоуна определяется как подалгебра  , элементы которой разделяют точки  .

Более точно, алгебра Стоуна   — это множество функций из кольца  , удовлетворяющее следующим условиям:

1. вместе с любыми её элементами   в алгебру Стоуна входят элементы:   ( ),  ,  ;
2. алгебра Стоуна содержит постоянную функцию  ;
3. для каждой пары различных точек   найдётся хотя бы одна функция   такая, что  .

Существует серия обобщений теоремы Вейерштрасса — Стоуна в различных направлениях. Например, по теореме Мергеляна всякую функцию, непрерывную на всяком компакте со связным дополнением на комплексной плоскости и голоморфную в его внутренних точках можно равномерно приблизить комплексными многочленами. Также были найдены обобщения, позволяющие вместо хаусдорфова компакта рассматривать функции, непрерывные на произвольном тихоновском пространстве.

• Многочлен Бернштейна

• Вейерштрасса — Стоуна теорема — статья из Математической энциклопедии. В. И. Пономарев
• Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М.: Наука, 1977. — 512 с.