Ознака д'Аламбера

Ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів встановлена Жаном Д’Аламбером в 1768 році:

Зокрема, якщо існує границя

(1)

то ряд, що розглядається, абсолютно збіжний якщо , а якщо — розбіжний (ознака збіжності Д’Аламбера у граничній формі). Якщо або границя не існує - тест не дає результату, бо ряди які відповідають таким випадкам можуть бути як збіжні, так і розбіжні.

Ознаку д'Аламбера можна застосувати і в випадках, коли границя не існує або дорівнює одиниці, якщо використати верхню і нижню границі. Нехай:

.

Тоді:^[1][2]

Якщо границя в (1) існує, то . Таким чином ознака з верхньою і нижньою границею включає в себе ознаку зі звичайною границею.

1. Ряд

абсолютно збіжний для всіх комплексних  , бо

2. Ряд

розбігається при всіх  , бо

3. Якщо  , то ряд може як збігатися, так і розбігатися: обидва ряди

      і      

задовольняють цю умову, причому перший ряд розбіжний, а другий збіжний.

Як було видно вище, ознака не визначена коли границя дорівнює 1. Розширення ознаки д'Аламбера іноді дозволяють розібратися з такими випадками.^{[3][4][5][6][7][8][9][10]}

У всіх ознаках нижче, вважаємо що Σa_n це сума додатніх a_n. Такі ознаки можна також застосовувати до будь-яких рядів зі скінченним числом від'ємних членів. Такі ряди можна записати як:

де a_N - це від'ємний елемент з найбільшим індексом.

• Радикальна ознака Коші

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Ознака Даламбера (теорема) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 505. — 594 с.
• d'Alembert, J. (1768), Opuscules, т. V, с. 171—183.
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (вид. 2nd), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1: §8.14.
• Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series, New York: Dover Publications, Bibcode:1956iss..book.....K, ISBN 978-0-486-60153-3: §3.3, 5.4.
• Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (вид. 3rd), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8: §3.34.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Bertrand criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Gauss criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Kummer criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963), A Course in Modern Analysis (вид. 4th), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2: §2.36, 2.37.