Теорема Гурвіца про композитні алгебри


Учасники проектів Вікімедіа

Article Images

Теорема Гурвіца про композитні алгебри

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Теорема Гурвіца.

Теорема Гурвіца про композитні алгебри — теорема, що описує основні нормовані алгебри (не плутати з нормованими (банаховими) алгебрами що в функціональному аналізі).

Ця теорема сформульована німецьким математиком Адольфом Гурвіцем в 1898 році.[1].

Визначення нормованої алгебри

ред.

Алгебра називається нормованою, якщо в ній можна ввести скалярний добуток з властивістю:  

Оскільки ввівши норму   отримаємо  

Формулювання теореми

ред.

В довільній нормованій алгебрі справедлива тотожність  

В довільній нормованій алгебрі з одиницею справедлива тотожність  

Наслідком леми є формула  

Позначимо одиницю алгебри   через  

Кожен елемент   можна представити єдиним чином у вигляді   де  

Введемо в алгебрі операцію спряження таким чином  

Нехай   — деяка підалгебра, що містить   і не збігається з  

Тоді існує одиничний вектор  , що ортогональний до  

Покажемо що елементи виду

 

також утворюють підалгебру в   Позначимо її  

Для цього доведемо:

  • Представлення довільного елемента з   у вигляді (*) можливе єдиним чином.
Доведення використовує Лему 1.
Спочатку за допомогою наслідку Леми 2 доведемо формули:  
З яких легко отримати дану формулу.

Довільна підалгебра   що містить   і не збігається з   є асоціативною.

Доведення використовує наслідок Леми 2.

Отже, оскільки алгебра   містить одиницю, то в неї є підалгебра з елементів виду   що ізоморфна алгебрі дійсних чисел  .

Якщо   не збігається з алгеброю   то розглянемо підалгебру   що ізоморфна алгебрі комплексних чисел.

Якщо   не збігається з алгеброю   то розглянемо підалгебру   що ізоморфна алгебрі кватерніонів.

Якщо   не збігається з алгеброю   то розглянемо підалгебру   що ізоморфна алгебрі октав.

Алгебра   вже повинна збігатися з алгеброю  , оскільки вона вже не є асоціативною.