二面體群

在數學中，二面體群 是正 邊形的對稱群，具有 個元素。某些書上則記為 。除了 的情形外， 都是非交換群。

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 离散群 有限單群分類 循環群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
查 论 编

抽象言之，首先考慮   階循環群  。反射   是   上的自同構，而且  。定義二面體群為半直積

任取   的生成元  ，  由   生成，其間的關係是

  的元素均可唯一地表成  ，其中  ， 。

二面體群也可以詮釋為二維正交群   中由

  （旋轉   弧度）

  （對 x 軸反射）

生成的子群。由此不難看出   是正 n 邊形的對稱群。

•   的中心在   為奇數時是  ，在   為偶數時是  。
• 當   為奇數時，  同構於   與二階循環群的直積。同構可由下式給出：

其中  ， 。

• 當   為奇數時，  的所有反射（即：二階元素）彼此共軛；當   為偶數，則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道；從幾何方面解釋，二者差意在於反射面是否通過正   邊形的頂點。
• 若  ，則  ，由此可導出   共有   個子群，其中的算術函數   與   分別代表   的正因數個數與正因數之和。

當   為奇數時，  有兩個一維不可約表示：

當   為偶數時，  有四個一維不可約表示：

其餘不可約表示皆為二維，共有   個，形如下式：

其中   是任一 n 次本原單位根，  過  。由   給出的表示相等價若且唯若  。