辛群
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在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中，我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。
| 群论 | ||||||||||
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| 群 | ||||||||||
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域F上次數為2n的辛群是由2n階辛矩阵在矩陣乘法下構成的群，記為Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是SL(2n,F)的子群。
抽象而言，辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。
當n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，當n>1時，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。
通常將域F取為實數域 、複數域 或非阿基米德局部域，如p進數域 。此時辛群Sp(2n,F)是維度等於 的連通代數群。 是單連通的，而 的基本群則同構於 。
的李代數可以刻劃為滿足下列條件的2n階方陣 ：
其中 表示 的轉置矩陣，而 是下述反對稱矩陣
之可逆線性變換。換言之， 即四元數上的酉群 。有時此群也被稱為超酉群。 即單位四元數構成之群，拓撲上同胚於三維球 。
並不同構於之前定義的 。下節將解釋其間的聯繫。
其李代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成
其中 是 的共軛轉置（在此取四元數之共軛運算）。李括積由矩陣之交換子給出。
緊辛群 有时称为酉辛群，记为
以上定義之 與 之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作 。此李代數也就是複李群 之李代數，記作 。它有兩個不同的實形式：
- 緊緻形式 ，即 之李代數。
- 正規形式 ，即 。
| 矩陣 | 李群 | dim/R | dim/C | 緊緻 | π1 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Sp(2n, R) | R | 實 | n(2n + 1) | – | 否 | Z |
| Sp(2n, C) | C | 複 | 2n(2n + 1) | n(2n + 1) | 否 | 1 |
| Sp(n) | H | 實 | n(2n + 1) | – | 是 | 1 |